El concepto de Lógica Difusa fue creado por Lofti A. Zadeh, catedrático de la Universidad de Berkeley (California) [2]. En su propuesta, la lógica difusa fue presentada como una forma de procesamiento de información en la que los datos podrían tener asociados un grado de pertenencia parcial a conjuntos. Fue a mediados de los 70 cuando esta teoría se aplicó a los sistemas de control (cuando los pequeños ordenadores empotrados tuvieron suficiente potencia como para permitir su ejecución). Desde entonces el número de aplicaciones industriales y su utilización en productos de consumo (como veremos en la sección 1.5) ha crecido exponencialmente.
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| Lofti A. Zadeh. |
1.- Introducción
El ser humano posee grandes habilidades para comunicar su experiencia empleando reglas lingüísticas vagas. Por ejemplo, un famoso cocinero de televisión podría dar instrucciones para tostar pan como:
1. Cortar dos rebanadas de pan medianas.
2. Poner el horno a temperatura alta.
3. Tostar el pan hasta que quede de color ligeramente marrón.
El uso de esos términos lingüísticos en cursiva podrían ser seguidos sin problema por un humano, que es capaz de interpretar estas instrucciones rápidamente. La lógica convencional no es adecuada para procesar este tipo de reglas. Por ejemplo, si pasáramos un día con Tiger Woods para aprender a jugar al golf, al final de la jornada podríamos tener un montón de reglas del tipo:
- Si la bola está lejos del hoyo y el green está ligeramente inclinado hacia la derecha, entonces golpear la bola firmemente empleando un ángulo ligeramente inclinado hacia la izquierda de la bandera.
- Si la bola está muy cerca del hoyo y el green entre la bola y el hoyo está plano, entonces golpear la bola directamente hacia el hoyo.
2.- ¿Qué es la Lógica Difusa?
Básicamente la Lógica Difusa es una lógica multivaluada que permite representar matemáticamente la incertidumbre y la vaguedad, proporcionando herramientas formales para su tratamiento.
Como indica Zadeh [3], “Cuando aumenta la complejidad, los enunciados precisos pierden su significado y los enunciados útiles pierden precisión.”, que puede resumirse como que “los árboles no te dejan ver el bosque”.
Básicamente, cualquier problema del mundo puede resolverse como dado un conjunto de variables de entrada (espacio de entrada), obtener un valor adecuado de variables de salida (espacio de salida). La lógica difusa permite establecer este mapeo de una forma adecuada, atendiendo a criterios de significado (y no de precisión).
El término Lógica Difusa fue utilizado por primera vez en 1974. Actualmente se utiliza en un amplio sentido, agrupando la teoría de conjunto difusos, reglas si-entonces, aritmética difusa, cuantificadores, etc. En este curso emplearemos este significado extenso el término.
3.-Características
El Principio de Incompatibilidad [3] dice que la descripción del comportamiento de un sistema complejo no puede realizarse de forma absolutamente precisa. Para solucionar este problema Zadeh plantea la necesidad de obtener herramientas capaces de manejar de forma rigurosa y fiable información imprecisa, lo cual obliga a desarrollar dos aspectos:
- Representación de la información imprecisa: Para esto lo que propone es el empleo de la Teoría de conjuntos difusos. Así como describir la experiencia de los sistemas complejos en sus relaciones entrada-salida mediante proposiciones condicionales del tipo Si-Entonces (Ejemplo: Si la presión es muy alta Entonces vaciamos el recipiente) de manera que las variables de entrada y las variables de salida quedan ligadas.
- Inferencia sobre información imprecisa: Ahora se necesita una forma de combinar esta información para obtener nuevos hechos. Entonces Zadeh establece la necesidad de un método de inferencia generalizado e introduce lo que se conoce como Regla Composicional de Inferencia.
A partir de este principio, se pueden describir las principales características
esenciales de la lógica difusa y los sistemas difusos:
- El razonamiento exacto puede verse como un caso particular del razonamiento aproximado. Cualquier sistema lógico puede ser fuzzificado. Mediante lógica difusa se puede formular el conocimiento humano de una forma sistemática, y puede ser fácilmente incluido en sistemas de ingeniería.
- El conocimiento se interpreta como una colección de restricciones difusas sobre una colección de variables. Los sistemas difusos son especialmente interesantes para la definición de sistemas cuyo modelo exacto es difícil de obtener (es necesario introducir una aproximación).
- La inferencia puede verse como un proceso de propagación de estas restricciones difusas.
- Se utiliza ampliamente en sistemas de ayuda a la decisión. La lógica difusa permite obtener decisiones con valores incompletos o información incierta.
Como lógica multi-valuada, en la definición de grados de pertenencia, la lógica difusa emplea valores contínuos entre 0 (que representa hechos totalmente falsos) y 1 (totalmente ciertos). Así, la lógica binaria clásica puede verse como un caso particular de la lógica difusa.
Zadeh propone en 1965 por primera vez la noción de Conjunto Difuso [2]. Este hecho marca el principio de una nueva teoría denominada Teoría de Conjuntos Difusos.
Los conceptos se asocian a conjuntos difusos (asociando los valores de pertenencia) en un proceso llamado fuzzificación. Una vez que tenemos los valores fuzzificados podemos trabajar con reglas lingüísticas y obtener una salida, que podrá seguir siendo difusa o defuzzificada para obtener un valor discreto crisp.
De este modo, a diferencia de la teoría clásica de conjuntos que se basa en el principio básico de la lógica de forma que un individuo pertenece o no pertenece a un conjunto, la idea básica de un conjunto difuso es que un elemento forma parte de un conjunto con un determinado grado de pertenencia.
De este modo una proposición no es totalmente (sino parcialmente) cierta o falsa. Este grado se expresa mediante un entero en el intervalo [0, 1]. Un ejemplo claro es la representación de la altura de una población de individuos.
En la representación crisp, se dibuja una línea que separa claramente en 1.8m los individuos que son altos de los que no lo son, asociando un valor de pertencia estricto al conjunto de los altos a aquellos que superan esa altura. Sin embargo, el conjunto difuso permite expresar que Carlos tiene un grado de pertenencia al conjunto de los altos en µA(Altura) = 0,82.
Así, un conjunto difuso proporciona una transición suave entre los límites de lo que sería un conjunto crisp. El Universo del discurso se define como todos los posibles valores que puede tomar una determinada variable (en el caso de la imagen anterior se correspondería con el eje horizontal de las gráficas, desde 150 a 210cm).
5.- Operaciones de Conjuntos Difusos
Las tres operaciones básicas que se definen sobre conjuntos crisp (complemento, unión e intersección), pueden generalizarse de varias formas en conjuntos difusos. No obstante, existe una generalización particular que tiene especial importancia. Cuando se restringe el rango de pertenencia al conjunto [0, 1], estas operaciones ”estándar” sobre conjuntos difusos se comportan de igual modo que las operaciones sobre conjuntos crisp.
µA (x) = 1 − µA(x)
µA∩B(x) = ⊥ [µA(x), µB(x)]
µA∪B(x) = T [µA(x), µB(x)]
Unión
La forma generalizada de la unión es la T-conorma. Podemos defi- nirla con la siguiente función:
⊥ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1]
µA∪B(x) = ⊥ [µA(x), µB(x)]
Para que una función se pueda considerar como una unión difusa, debe satisfacer los siguientes axiomas ∀a, b, c ∈ [0, 1]:
U1) Elemento Neutro: ⊥(a, 0) = a
U2) Conmutatividad: ⊥(a, b) = ⊥(b, a)
U3) Monotonicidad: Si a ≤ c y b ≤ d entonces ⊥(a, b) = ⊥(c, d)
U4) Asociatividad: ⊥(⊥(a, b), c) = ⊥(a, ⊥(b, c))
Intersección
La forma generalizada de la intersección se denomina T-norma. Es una función de la forma:
T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1]
µA∩B(x) = T [µA(x), µB(x)]
Una T-norma satisface los siguientes axiomas ∀a, b, c ∈ [0, 1]
I1) Elemento unidad: T(a, 1) = a
I2) Conmutatividad: T(a, b) = T(b, a)
I3) Monotonicidad: Si a ≤ c y b ≤ d entonces T(a, b) = T(c, d)
I4) Asociatividad: T(T(a, b), c) = T(a, T(b, c))
Complemento
El complemento A de un conjunto difuso A, se denota por cA; está definido por una función del tipo c : [0, 1] → [0, 1]. Tiene que satisfacer los siguientes axiomas:
C1) Condiciones límite o frontera: c(0) = 1 y c(1) = 0.
C2) Monotonicidad: ∀a, b ∈ [0, 1] si a < b entonces c(a) ≥ c(b).
C3) c es una función contínua. C4) c es involutiva ∀a ∈ [0, 1] tenemos c(c(a)) = a
5.1.- Propiedades
Los conjuntos Crisp y los difusos tienen las mismas propiedades (en realidad los conjuntos crisp pueden verse como un subconjunto de los conjuntos difusos).
Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A
Asociativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Idempotencia: A ∪ A = A y A ∩ A = A
Involución: ¬(¬A) = A
Transitiva: If(A ⊂ B) ∩ (B ⊂ C)thenA ⊂ C
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Leyes de Morgan: ¬(A ∩ B) = ¬A ∪ ¬B y ¬(A ∪ B) = ¬A ∩ ¬B
Empleando estas operaciones, propiedades y modificadores se pueden obtener gran variedad de expresiones. Por ejemplo, siendo A el conjunto alto y B bajo, podemos derivar el conjunto C como no muy alto y no muy bajo como µC (x) = [1 − µa(x) 2 ] ∩ [1 − µB(x) 2 ].
6.- Aplicaciones generales de la Lógica Fuzzy
La lógica difusa se utiliza cuando la complejidad del proceso en cuestión es muy alta y no existen modelos matemáticos precisos, para procesos altamente no lineales y cuando se envuelven definiciones y conocimiento no estrictamente definido (impreciso o subjetivo).
A continuación se citan algunos ejemplos de su aplicación:
- Sistemas de control de acondicionadores de aire
- Sistemas de foco automático en cámaras fotográficas
- Electrodomésticos familiares (frigoríficos, lavadoras...)
- Optimización de sistemas de control industriales
- Sistemas de escritura
- Mejora en la eficiencia del uso de combustible en motores
- Sistemas expertos del conocimiento (simular el comportamiento de un experto humano)
- Tecnología informática
- Bases de datos difusas: Almacenar y consultar información imprecisa. Para este punto, por ejemplo, existe el lenguaje FSQL.
7.- Ventajas e inconvenientes
Como principal ventaja, cabe destacar los excelentes resultados que brinda un sistema de control basado en lógica difusa: ofrece salidas de una forma veloz y precisa, disminuyendo así las transiciones de estados fundamentales en el entorno físico que controle. Por ejemplo, si el aire acondicionado se encendiese al llegar a la temperatura de 30º, y la temperatura actual oscilase entre los 29º-30º, nuestro sistema de aire acondicionado estaría encendiéndose y apagándose continuamente, con el gasto energético que ello conllevaría. Si estuviese regulado por lógica difusa, esos 30º no serían ningún umbral, y el sistema de control aprendería a mantener una temperatura estable sin continuos apagados y encendidos.
También está la indecisión de decantarse bien por los expertos o bien por la tecnología (principalmente mediante redes neuronales) para reforzar las reglas heurísticas iniciales de cualquier sistema de control basado en este tipo de lógica
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